Fórmulas de Geometría y Análisis Estructural

Áreas y Volúmenes

Área de un rectángulo:
$$ A = L \times W $$
Donde:
( A ) es el área, ( L ) es la longitud, y ( W ) es el ancho.
Área de un triángulo:
$$ A = \frac{1}{2} \times b \times h $$
Donde:
( A ) es el área, ( b ) es la base, y ( h ) es la altura.
Área de un círculo:
$$ A = \pi \times r^2 $$
Donde:
( A ) es el área, y ( r ) es el radio.
Volumen de un prisma rectangular:
$$ V = A_b \times h $$
Donde:
( V ) es el volumen, ( A_b ) es el área de la base, y ( h ) es la altura.
Volumen de un cilindro:
$$ V = \pi \times r^2 \times h $$
Donde:
( V ) es el volumen, ( r ) es el radio de la base, y ( h ) es la altura.
Volumen de una esfera:
$$ V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 $$
Donde:
( V ) es el volumen, y ( r ) es el radio.

Teorema de Pitágoras:
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
Donde:
( a ) y ( b ) son los catetos de un triángulo rectángulo, y ( c ) es la hipotenusa.
Teorema de Euclides sobre el círculo:
$$ \theta_{\text{centro}} = 2 \times \theta_{\text{circunferencia}} $$
Donde:
( \theta_{\text{centro}} ) es el ángulo en el centro, y ( \theta_{\text{circunferencia}} ) es el ángulo en la circunferencia que corta el mismo arco.
Teorema del seno:
$$ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} $$
Donde:
( a ), ( b ), y ( c ) son los lados de un triángulo, y ( A ), ( B ), y ( C ) son los ángulos opuestos a esos lados.
Teorema del coseno:
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \times \cos(C) $$
Donde:
( a ), ( b ), y ( c ) son los lados de un triángulo, y ( C ) es el ángulo entre los lados ( a ) y ( b ).

Momento de inercia de un área respecto a un eje:
$$ I = \int_A y^2 , dA $$
Donde:
( I ) es el momento de inercia, ( A ) es el área, y ( y ) es la distancia al eje.
Momento de inercia de una sección rectangular respecto a su base:
$$ I_x = \frac{1}{12} \times b \times h^3 $$
Donde:
( I_x ) es el momento de inercia respecto a la base, ( b ) es la base, y ( h ) es la altura.
Momento polar de inercia de un área:
$$ J = \int_A r^2 , dA $$
Donde:
( J ) es el momento polar de inercia, y ( r ) es la distancia al eje polar.
Centroide de un área:
$$ \bar{x} = \frac{\int_A x , dA}{A} $$
Donde:
( \bar{x} ) es la coordenada x del centroide, ( x ) es la coordenada x del área, y ( A ) es el área.
Módulo de sección de un área respecto a un eje:
$$ S = \int_A y , dA $$
Donde:
( S ) es el módulo de sección, y ( y ) es la distancia al eje.

Área de un trapecio:
$$ A = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h $$
Donde:
( A ) es el área, ( b_1 ) y ( b_2 ) son las longitudes de las bases, y ( h ) es la altura perpendicular a las bases.
Área de un paralelogramo:
$$ A = b \times h $$
Donde:
( A ) es el área, ( b ) es la base, y ( h ) es la altura perpendicular a la base.
Teorema de los ejes paralelos (teorema de Steiner):
$$ I_{\text{eje paralelo}} = I_{\text{eje central}} + A \times d^2 $$
Donde:
( I_{\text{eje paralelo}} ) es el momento de inercia respecto al eje paralelo, ( I_{\text{eje central}} ) es el momento de inercia respecto al eje central, ( A ) es el área, y ( d ) es la distancia entre los ejes.
Fórmula de la ecuación cuadrática:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Donde:
( x ) es la solución de la ecuación cuadrática ( ax^2 + bx + c = 0 ).